Question

设函数f(x)在[a,b]上连续,且f（a）＝f（b）,证明,存在一个区间[α,β]满足β－α=（b－a）／2,且f（α

设函数f(x)在[a,b]上连续,且f（a）＝f（b）,证明,存在一个区间[α,β]满足β－α=（b－a）／2,且f（α）＝f（β）

Answer 1

定义 g(x) = f(x)-f(x+(b-a)/2), a<=x<= a+(b-a)/2.
g(a) = f(a)-f((b+a)/2）
g((a+b)/2)= f((b+a)/2）- f(a) = -g(a)
若 g(a)=0, 则 取 α = a, 结论即成立。

若 g(a)不=0, 因为g连续，且在区间 [a， a+(b-a)/2] 两个端点的函数值符号相异。所以区间内必存在 α 使得 g(α)=0, 取 β= α+(b-a)/2, 结论即成立。