Question

已知向量a=（cosα，sinα），向量b=（cosβ,sinβ),其中0＜向量α＜向量β＜π。若ka+b与a-kb的长度相等

求β-α的值（k为非零的常数）

Answer 1

解：
∵向量a=(cosα，sinα)，向量b=(cosβ，sinβ)
∴|向量a|=√[(cosα)^2+(sinα)^2]=1
|向量b|=√[(cosβ)^2+(sinβ)^2]=1
向量a*向量b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=cos(β-α)
∴|k向量a+向量b|
=√[|k向量a+向量b|^2
=√(|k向量a|^2+2k向量a*向量b+|向量b|^2)
=√(k^2*|向量a|^2+2k向量a*向量b+|向量b|^2)
=√[k^2+1+2kcos(β-α)]
|向量a-k向量b|
=√[|向量a-k向量b|^2
=√(|向量a|^2-2k向量a*向量b+|k向量b|^2)
=√(|向量a|^2-2k向量a*向量b+k^2*|向量b|^2)
=√[1+k^2-2kcos(β-α)]
∵k向量a+向量b与向量a-k向量b的长度相等
∴|k向量a+向量b|=|向量a-k向量b|
∴√[k^2+1+2kcos(β-α)]=√[1+k^2-2kcos(β-α)]
∴k^2+1+2kcos(β-α)=1+k^2-2kcos(β-α)
∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α)
∴4kcos(β-α)=0
∵k≠0
∴cos(β-α)=0
∵0<α<π
∴-π<-α<0
∵0<β<π
∴-π<β-α<π
∵α<β
∴β-α>0
∴0<β-α<π
∵cos(β-α)=0
∴β-α=π/2.