Question

函数奇偶性的问题，谢谢了。

设f(x)是定义在对称区间(-l,l)上的任何函数,证明：
(1)φ(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，φ(x)=f(x)-f(-x)是奇函数，
(2)定义在区间(-l,l)上的任何函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和。

Answer 1

(1)φ(-x)=f(-x)+f(x)=φ(x)，∴φ(x)=f(x)+f(-x)是偶函数
φ(-x)=f(-x)-f(x)=-φ(x)，∴φ(x)=f(x)-f(-x)是奇函数
(2)奇函数：
(f(x)-f(-x))/2
偶函数：
(f(x)+f(-x))/2
两个函数之和：
(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)。
得证。

Answer 2

（1）因为φ(x)=f(x)+f(-x)，所以 φ(-x)=f(-x)+f(x)=φ(x)，所以是偶函数
因为φ(x)=f(x)-f(-x) ，所以 φ(-x)=f(-x)-f(x)=-φ(x)，所以是奇函数
（2）φ1(x)+φ2(x)=2f(x) 又2f(x)是定义在对称区间(-l,l)上的任何函数，所以得证