Question

急急急！！！求解数学题： 关于X的一元二次方程2X^2-tx-2=0有两个实根α、β ，设f(x)

急急急！！！求解数学题：
关于x的一元二次方程2x^2-tx-2=0有两个实根α、β ，设f(x) =（4x-t）/（x^2+1）,f(x)在区间[α，β]上的最大值和最小值分别为A和B，g(t)=A-B，求g(t)的最小值。

Answer 1

(1)2>0,开口向上,x1,x2为区间[α,β]上
所以2x1^2-tx1-2<0 2x2^2-tx2-2<0
(2x1^2-tx1-2)+(2x2^2-tx2-2)<0
2(x1^2+x2^2)-t(x1+x2)-4<0
因为x1^2+x2^2>=2x1*x2,所以
4*x1*x2-t(x1+x2)-4<=2(x1^2+x2^2)-t(x1+x2)-4<0
(2)对f(x)求导：
f~(x)=[4*(x^2+1)-2x*(4x-t)]/(x^2+1)^2
=(-4x^2+2tx+4)/(x^2+1)^2
令f~(x)=0，即-4x^2+2tx+4＝0
2x^2-tx-2=0
所以其极值点即是α,β
g(t)=|f(α)-f(β)|
=|(4α-t)/(α^2+1)-(4β-t)/(β^2+1)|
=|[(4αβ^2+4α-tβ^2-t)-(4α^2β+4β-tα^2-t)]/[(α^2+1)(β^2+1)]|
=|[4(αβ-1)(α-β)-t(β^2-α^2)]/[(α^2+1)(β^2+1)]|
再根据α＋β＝t/2，αβ＝－1
g(t)即可化成t的函数，再计算其最小值．
不好意思，好象过程比较复杂，你自己算一下．

Answer 2

设x1,x2为区间[α,β]上的两个不同点（x1<x2)
f(x1)-f(x2)=(4x1-t)/(x1²+1)-(4x2-t)/(x2²+1)
=(x2-x1)[4x1x2-t(x1+x2)-4]/(x1²+1)(x2²+1)
由（1）可知4x1x2-t(x1+x2)-4<0
则f(x1)-f(x2)<0
故x∈[α,β]，函数f（x）为增函数
则f(max)=f(α）, f(min)=f(β)
g(t)=f(β)-f(α)=(α-β)[4αβ-t(α+β)-4]/(α²+1)(β²+1)
因 α＋β＝t/2，αβ＝-1
4αβ-t(α+β)-4=-（t²+16)/2
(α²+1)(β²+1)=α²β²+ (α＋β)²-2αβ +1=4+t²/4=(t²+16)/4
则g(t)=(α-β)*[-（t²+16)/2]/[(t²+16)/4]
=2(β-α)
(β-α)²=（α＋β)²-4αβ=t²/4+4>=4
故g(t)=2(β-α)>=4
g(t)的最小值是4