Question

高一指数函数的问题

已知指数函数y=g(x)过点(1,3),函数f(x)=[-g(x)+n]/[g(x)+1]是R上的奇函数,

讨论关于x的方程xf(x)=m解的个数

Answer 1

y=g(x)过点(1,3),又因为y=g(x)为指数函数
所以g(x)=3^x
f(x)=[-g(x)+n]/[g(x)+1]=(-3^x+n)/(3^x+1)
f(x)=[-g(x)+n]/[g(x)+1]是R上的奇函数,
f(-x)=(-3^-x+n)/(3^-x+1).
上下都乘以3^x
f(-x)=(-1+n3^x)/(3^x+1)=-f(x)=(3^x-n)/(3^x+1)
n=1
f(x)=(-3^x+1)/(3^x+1)
对不起昨晚头晕乎乎的没想出来
设h(x)=xf(x)
h(x)=xf(x) h(-x)=-xf(-x)=xf(x)
所以h(x)为偶函数
设x1>x2,x1,x2<0
h(x1）-h(x2）=（-x1*3^x1+x1)/(3^x1+1)-(-x2*3^x2+x2)/(3^x2+1)
=(- x1*3^x1+x1)(3^x2+1)-(-x2*3^x2+x2)(3^x1+1)/(3^x2+1)(3^x1+1)
=(x1-x2)(1-3^(x1+x2))+(x1+x2)(3^x2-3^x1i)/(3^x2+1)(3^x1+1)
x1-x2>0 1-3^(x+1+x2)>0 x1+x2<0 3^x2-3x1<0
(3^x2+1)(3^x2+1)>0
h(x1)-h(x2)>0
x<0时，h(x)递增
x>0时，h(x)递减
据图像得，m=0时，h(x)=m有一个解
m《0时，h(x)=m有两个解
m>0时，h(x)=m无解