Question

关于第一型曲线积分的问题：定义中设f（x,y）定义在空间光滑曲线L上，这句话该如何理解？L一定在x

关于第一型曲线积分的问题：定义中设f（x,y）定义在空间光滑曲线L上，这句话该如何理解？L一定在xox平面上么？f（x,y）在空间中的定义不应该是个曲面么？（z任意取值）定义中的这句话要怎么理解？请大神帮忙～

Answer 1

解答：
意思就是说f(x,y)这张曲面是以L为准线的，母线平行于z轴的柱面的一部分。

追问

但这是曲线积分啊，f(x,y)得是曲线段啊

追答

f(x,y）指的是这张曲面的高度，这个高度是变化的。如果在此柱面上任取一个矩形小窄条，则高为f(x,y)，宽为dx，于是该矩形小窄条的面积为f(x,y)dx，然后在L上求和，就得到曲线积分，即这张柱面的面积

Answer 2

你这是什么定义？f(x,y) 是指什么？

追答

如果是被积函数，那应该是f(x,y,z)

追问

曲线积分的定义，是被积函数，但是不是f(x,y,z)

追答

那也就是说，被积函数跟 z 无关，这是特殊情况，一般是有关的

追问

和z无关不就是曲面么？但这是曲线积分的定义啊？

追答

跟曲面无关，积分区域是空间曲线

f 是被积函数，这个函数不随 z 变化而变化

比如，被积函数是 x+y,

这个函数在曲线上每点的值只由该点的 x,y 分量决定

相当于三元函数退化成了二元函数

类似于二元退化成一元

上面那个二重积分，被积函数就退化成一元函数