Question

设椭圆x²／a²+y²／b²=1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点

设椭圆x²／a²+y²／b²=1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,o为坐标原点。
(1)若直线AP与BP的斜率之积为-1/2，求椭圆的离心率；
(2)若｜AP｜=｜OA｜，求证直线OP的斜率k满足｜k｜＞√3

Answer 1

（1）设P的坐标为（acosα，bsinα）
则AP的斜率为bsinα/（acosα+a），BP的斜率为bsinα/（acosα-a）
两者斜率之积为（bsinα/（acosα+a））（bsinα/（acosα-a））=-1/2
（bsinα)^2/(（acosα)^2-a^2）=-（bsinα)^2/（asinα)^2=-(b/a)^2=-1/2
(b/a)^2=1/2
a^2=2b^2,c^2=a^2-b^2=a^2/2
e^2=c^2/a^2=1/2
e=√（1/2）=√2/2
(2)｜AP｜=｜OA｜

｜AP｜^2=｜OA｜^2

(acosα+a)^2+(bsinα)^2=a^2
(acosα)^2+2a^2cosα+a^2+(bsinα)^2=a^2,将a^2=2b^2带入有：
2b^2(cosα)^2+4b^2cosα+2b^2+(bsinα)^2=2b^2
(cosα)^2+4cosα+1=0
cosα=-2±√3，-2-√3<-1舍去，故cosα=-2+√3
（cosα)^2=7-4√3,（sinα)^2=4√3-6
直线OP的斜率k^2=b^2(sinα)^2/a^2(cosα)^2=（4√3-6）/2(7-4√3)=（2√3-3）/(7-4√3)
k^2=（2√3-3）/(7-4√3)>3等价于（2√3-3）>3(7-4√3)
等价于2√3-3>21-12√3
等价于14√3>24
等价于7√3>12
等价于√147>√144
等价于147>144
显然147>144成立，故k^2>3成立
即有｜k｜＞√3成立