Question

在三角形ABC中，角B为60度，设BC中点为D，且AD=根号3，求a+2c的最大值及此时三角形ABC的面积

Answer 1

解延长BA到P,使得BP=2BA,连结PC,
则在ΔPBC中A是PC的中点，D是BC的中点，SΔABC=1/2SΔBCP
则PC=2AD=2√3.BP=2BA=2c
则a+2c=BC+BP
在ΔBCP中
CP^2=BC^2+BP^2-2BC*BPcosA
即(2√3)^2=(BC+BP)^2-2BC*BP-2BC*BPcos60°
即12=(BC+BP)^2-3BC*BP
即(BC+BP)^2=12+3BC*BP≤12+3×((BC+BP)/2)^2
即1/4(BC+BP)^2≤12
即(BC+BP)^2≤48
即BC+BP≤4√3
即a+2c≤4√3
此时BC=BP=2√3
即SΔABC=1/2SΔBCP=1/2*1/2*2√3*2√3*√3/2=3√3/2.