Question

若一个函数的导函数在有限区间上有界，则该函数也在此区间上有界

设区间为 (a，b)，|f'(ξ)|≤M

任取x0∈ (a，b)，则对于此区间内任一点x，根据拉格朗日中值定理

存在ξ∈ (a，b)
|f(x)-f(x0)|=|f'(ξ)·(x-x0)|<M(b-a)

所以 |f(x)|≤|f(x0)|+|f(x)-f(x0)|<|f(x0)|+M(b-a)

所以，f(x)在(a，b)上有界。

怎么证明不等式最后一步中 |f(x0)| 是有界的呢？？？？

Answer 1

f(x0)是一个常数，

常数自然是有界的！

追问

那样的话f(x)不也就是一个常数？那为什么还要证明呢？

追答

f(x0)中，x0是确定的数，
所以，f(x0)是常数

f(x)中，x是变量，
f(x)怎么可能是常数？

Answer 2

f(x0)是选定的x0点的函数值，是一个确定的常数，而f(x)是 任意一点 是没有被选取的 是不确定的