Question

九年级数学题

在三角形ABC中,角ACB=90度,BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,点F在DE上,且AF=CE.
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当角B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？回答并证明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

Answer 1

(1)证明：
过A点作DF的垂线，交DF于M点
DE为BC垂直平分线
故∠AMD=∠MDC=∠ACB=90°
所以四边形ACDM为矩形
则AM=CD
又因为AF=CE,∠AMF=∠CDE=90°
所以△AMF≌△CDE
∠AFM=∠CED
故AF‖CE
因为DF‖AC
所以四边形ACEF为平行四边形
（2）若ACEF为菱形
则AF=AC
因为DE垂直平分BC
则CE=AB/2=AE
故 AF=AC=CE=AE
因此△AEC为等边三角形
∠CAB=60°
因此∠B=30°
（3）ACEF不可能为正方形
假设ACEF为正方形
则AC⊥CE
即CE与CB重合
又因E为AB中点
因此这种情况不可能
假设不成立，则ACEF不可能为正方形