Question

高等数学级数方面的证明题

若∑（un）^2和∑（vn）^2均收敛，试证∑（un*vn），∑（un+vn）^2，∑（un）/n均收敛

Answer 1

因 ∑(un)^2 和 ∑(vn)^2 均收敛, 得
(-1/2)∑[(un)^2+(vn)^2] ≤ ∑[(un*vn) ≤ (1/2)∑[(un)^2+(vn)^2]，
(-1/2)[∑[(un)^2 + ∑(vn)^2] ≤ ∑[(un*vn) ≤ (1/2)∑[(un)^2+(vn)^2，故 ∑(un*vn) 收敛。
∑(un+vn)^2 = ∑[(un)^2+(vn)^2+2un*vn]
= ∑(un)^2+∑(vn)^2+2∑(un*vn).
故 ∑(un+vn)^2 收敛。
因 ∑(un)^2 收敛, ∑1/n^2 收敛, 则 ∑[(un)^2+n^2 ]收敛,
(-1/2) ∑[(un)^2+1/n^2] ≤ ∑un/n ≤ (1/2) ∑[(un)^2+1/n^2],
故 ∑un/n 收敛。

Answer 2

1.un*vn的绝对值 ≤1/2(un^2+vn^2)）;而显然右边∑和收敛；所以∑（un*vn）绝对收敛，故收敛。
2。（un+vn）^2=un^2+vn^2+2un*vn，右端的三项∑和均收敛，所以得证
3.因为∑un^2收敛，∑1/(n^2)收敛，而2un/n的绝对值≤un^2+1/(n^2)，右边两项∑和均收敛，所以2un/n的∑和绝对收敛，得到∑un/n收敛