Question

当向量组中所含向量个数大于向量维数时，为什么就线性相关

书（线代第四版赵树嫄）上p129的
推论 2 ：当向量组中所含向量个数大于向量维数时，此向量组线性相关。

我就没懂，以下是书上的证明：

证： 设 aj=（a1j，a2j，...，amj）（j=1,2，...，n） ，齐次线性方程组
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0
结论：由于m<n，故有非零解 ，由此得证。（完）

以下是疑问：
a11，a12 … a1n
a21，a22 … a2n
。 。 。
。 。 。
am1，am2 … amn

1、向量的个数，向量的维数要怎么确定？？
如果按行来算向量个数，上面的向量个数就是m个，每个是n维
如果按列来算向量个数，上面的向量个数就是n个，每个m维。
那这样怎么比较m与n的大小啊，全部是相对的。
2、没有一个确切的数字时，m与n怎么比较大小？？？？
3行2列
2行3列
都算是m行n列，这要怎么比！？
3、证明过程也看得我莫名其妙，列出个齐次线性方程，何来【由于】m<n？然后故有非零解？？【由于】哪里来的？？
而且推论上写着的是，向量个数>向量维数，相关。结论是m<n， 也就是n是向量个数，m是维数？也就是按列算？哪里说要按列算了？？

Answer 1

根据题设：设 aj=（a1j，a2j，...，amj）（j=1,2，...，n） 。
aj即为这m个向量的代表，可以是这n个向量中的每一个，不写an是为了表示这是n个向量中的任意一个，而不是最后一个。
所以一共有n个m维向量：
a1=（a11，a21，a31，...，am1）
a2=（a12，a22，a32，...，am2）
a3=（a13，a23，a33，...，am3）
... ...
aj=（a1j，a2j，a3j，...，amj）
... ...
an=（a1n，a2n，a3n，...，amn）
由命题“向量组中所含向量个数大于向量维数”知：向量个数（也就是n）＞向量维度（也就是m）。
纯手打，满意记得采纳。