Question

几道高数中值定理证明题

Answer 1

1.
F(x)=e^x*f(x)
F(x)在[0,1]连续，(0,1)可导
所以由拉格朗日中值定理
存在w∈(0,1)
使得F'(w)=(F(1)-F(0))/(1-0)
即e^w*(f'(w)+f(w))=ef(1)-f(0)
移项证得f'(w)+f(w)=[ef(1)-f(0)]*e^(-w)
2.
g(x)=lnx
g(x)在[b,a]连续，(b,a)可导
所以由拉格朗日中值定理
存在w∈(b,a)
使得g'(w)=(g(a)-g(b))/(a-b)
即(a-b)/w=lna-lnb
又b<w<a,a-b>0
所以(a-b)/a<(a-b)/w<(a-b)/b
即结论成立
3.
x ∈[-1,1]
g(x)=arcsinx+arccosx-π/2
g'(x)=0
定理：如果f(x)在区间i上导数恒为零，那么f(x)在区间i上是一个常数
所以g(x)在[-1,1]为常数
代入x=1,得到g(x)=π/2+0-π/2=0
移项可证
arcsinx+arccosx=π/2在[-1,1]恒成立