Question

数学高中：定义数列如下：a1=2,an+1=an²-an+1，n∈N*。求证：（I）对于n∈N*恒有an+1＞an

定义数列如下：a1=2,an+1=an²-an+1，n∈N*。求证：
（I）对于n∈N*恒有an+1＞an；
（II）1-1/2015＜1/a1+1/a2+…+1/a2015＜1.
求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

（1）证明：不等式常见变化an+1＞an
变为an+1-an>0，这个变化的目的是得出0这个数字，为什么要这么做？
因为0在后面平方的运算中将会起到非常重要的作用
把题目已知an+1=an²-an+1变为我们刚才得出的an+1-an形式，就可以把两个已知结合到一起
an+1-an=an²-2an+1=(an-1)²必然是》0
容易证明，当该数列中任意一项an=1时，an+1必然也是1，an+2也必然是1
那么，对于任意一项an>1时，an+1>an>1，则an+1必然>1，可推得an+2也必然>1
因为题目初始给出a1=2，因此任意an一定比2大，所以an-1必然不为0
所以(an-1)²>0，得证

(2)这个问题我们要观察an的位置，它的问题告诉我们要求出1/an，所以这个问题要解决，最关键的是要把1/an的形式变化出来。
变化：a(n+1)-1=an²-an=an(an-1)
全部做倒数得1/[a(n+1)-1]=1/[an(an-1)]={1/an-1}-{1/an}
注意：1/[an(an-1)]={1/an-1}-{1/an}是数列中的重要变形公式！
到这里是否变形完成了？没有。因为高中阶段数列的重要加合公式形式是{1/a(n+1)}-{1/an}，这样才能把中间项消掉，因此我们还要继续变形：
1/[a(n+1)-1]={1/an-1}-{1/an}
1/an={1/an-1}-1/[a(n+1)-1]
因此1/a1+1/a2+.....1/a2015={1/a1-1}-{1/a2-1}+{1/a2-1}.....-{1/a2016-1}
={1/a1-1}-{1/a2016-1}=1-{1/a2016-1}
利用(1)可证明1-{1/a2016-1}一定小于1，那么后半部分已证，前半部分要我们证明什么呢？
要我们证明1-1/2015<1-{1/a2016-1}，变形对换也就是a2016>2016，抽象来看也就是要我们证明an>n，这一点如何证明？
假设an>n，n=1,2可代入数据证明，则讨论n>2时，an+1=an²-an+1>n²-n+1
而an+1-(n+1)=n²-2n=(n-1)²-1由于n>2，因此an+1-(n+1)必然大于0，即an+1>(n+1)，即可证明

从题目来看是中等偏上的数列问题，一般可以作为高考的压轴题来考察，这个题目的难点在于涉及的问题都需要分别证明，时间消耗长，容易的地方在于它难逃一般数列题的套路，一样有规律可循