Question

求一个积分，是概率论矩法估计里的，以前高数的知识忘了。。

就是得数是2θ^2,我用分部积分法，把e的那一项看成dv，但是答案和书上不一样，是带x的，我记错什么了呢，，求明白人帮帮我，不甚感激！！！

我做的步骤，，
是不胜感激！！，，，





Answer 1

解：分享两种处理方法【积分区间[0，∞）略写，已经积分出来的表达式均代入求出其值】。（1）设x=θt，则用分部积分法，有E（x^2)=(θ^2)∫（t^2)e^(-t)dt=(θ^2)∫（t^2)d[-e^(-t)]=-(θ^2)（t^2)e^(-t)+2(θ^2)∫te^(-t)dt=2(θ^2)∫td[-e^(-t)]=-2(θ^2)t[-e^(-t)]+2(θ^2)∫d[-e^(-t)]=2(θ^2)[-e^(-t)]=2θ^2。
（2）用特殊函数Γ(x)。E（x^2)=(θ^2)∫（t^2)e^(-t)dt=(θ^2)∫[t^(3-1)e^(-t)dt=(θ^2)Γ(3)=(θ^2)(2!)=2θ^2。供参考啊。

追问

嗯 方法（1）是换元后分步吧 ，问一下，其中
-(θ^2)（t^2)e^(-t)+2(θ^2)∫te^(-t)dt=2(θ^2)∫td[-e^(-t)]
这一步中-(θ^2)（t^2)e^(-t)消失，是因为用0（t=∞时）减去0（t=0时）等于0所以才没有掉的吗？

追答

是的。当t=0时，-(θ^2)（t^2)e^(-t)=0；当t→∞时，-(θ^2)（t^2)e^(-t)=-(θ^2)（t^2)/e^t，用洛比塔否则得-2(θ^2)/e^t=-2(θ^2)/∞=0。