Question

已知函数f(x)=e∨x且函数f(x)与h(x)的图像关于(1,2)对称,若f(x)≥g(x)+m

已知函数f(x)=e∨x且函数f(x)与h(x)的图像关于(1,2)对称,若f(x)≥g(x)+m

Answer 1

若f(x)与g(x)关于点(a,b)对称，设f(x)上任意一点（x₁,y₁）,则（x₁,y₁）在g(x)上关于(a,b)对称的点（x₂,y₂），有a=(x₁+x₂)/2,b=(y₁+y₂)/2.(中点坐标公式)
y₁=f(x)=e^x 任意一点（x₁,e^x₁）
y₂=g(x₂) 对称的点（x₂,y₂）
1=(x₁+x₂)/2→x₁=2-x₂→e^x₁=e^(2-x₂)
2=(e^x₁+y₂)/2→y₂=4-e^x₁
∴y₂=g(x₂)=4-e^(2-x₂)
即g(x)=4-e^(2-x)
令h(x)=f(x)-g(x)-m=e^x+e^(2-x)-m-4
h'(x)=e^x-e^(2-x)
驻点：h'(x)=0
e^x-e^(2-x)=0
x=1
h''(x)=e^x+e^(2-x)>0
∴h(1)=2e-m-4是极小值
∴当2e-m-4≥0即m≤2e-4时，不等式恒成立。