Question

急求高人指教二重积分的方向问题！！！！！！

图画的不是很好，就是一个球的下面部分，计算二重积分下的（dydz+(a+z)^2/adxdy,其中这个面试这个下半球的上侧，a 为大于零的常数！这个题目用到高斯公式，
添加辅助面，就是球的z=0这个面，这个面的法向量的方向是指向下，就是方向量都指向里面！求怎么确定方向？？？
假设z=0的面设为m1,下面的面设为m2,整个下半球面设为m3,则积分在
m1上面的积分的，答案是负的，积分在m2上面的也是负的，在整个的m3上也是负的，
我认为法向量向上才是正的，也就是和z轴方向一样的时候才是正的，和z轴方向相反时候就是负的，求解释！！！！

Answer 1

1
曲面只有上下侧之分的话，
“法向量向上才是正的，也就是和z轴方向一样的时候才是正的，和z轴方向相反时候就是负的”
的理解是正确的
2
曲面有上下，左右，前后侧之分的话，
“法向量向上（右或前）才是正的，也就是和z（y 或 x）轴方向一样的时候才是正的，和z（y 或 x）轴方向相反时候就是负的”
的理解也是正确的
总结起来就是：
前正后负，右正左负，上正下负
3 最好的理解是
面的方向的定义：面取外侧，法向量取外向，积分为正；面取外侧，法向量取内向，积分为负。
也就是面与法向量的方向一致时，积分为正

本题中面都取内侧，法向量为外侧，积分均为负

Answer 2

问题没看太明白。如果楼主指的是m1这个面，由于高斯公式要求是封闭曲面，所以应用的时候要保证添加新的面以后是一个封闭曲面。这道题目里面添加的z=0这个面就是如此，它的法向量是向下的，也就是说是取它朝下的那一侧，并且它的法向量与z轴的夹角大于90度，事实上为180度，其余弦值为-1<0，所以当然为负的，至于为什么，书上就这么定义的，当然求积分的时候还要考虑被积函数的正负性，只不过将这种第二类曲面积分转化为第一类的时候，正负就是这么定的，看法向量与相应坐标轴的夹角的余弦值，然后结合被积函数进行求解。

Answer 3

问题没看太明白。如果楼主指的是m1这个面，由于高斯公式要求是封闭曲面，所以应用的时候要保证添加新的面以后是一个封闭曲面。这道题目里面添加的z=0这个面就是如此，它的法向量是向下的，也就是说是取它朝下的那一侧，并且它的法向量与z轴的夹角大于90度，事实上为180度，其余弦值为-1<0，所以当然为负的，至于为什么，书上就这么定义的，当然求积分的时候还要考虑被积函数的正负性，只不过将这种第二类曲面积分转化为第一类的时候，正负就是这么定的，看法向量与相应坐标轴的夹角的余弦值，然后结合被积函数进行求解。

Answer 4

解：
积分域：
d={(x,y)|x^2+y^2≤x+y+1}={(x,y)|x^2+y^2-x-y-1≤0}={(x,y)|(x-1/2)^2+(y-1/2)^2≤3/2}
积分域为圆心为（1/2，1/2）半径为√6/2的圆的内部（包括边界）
转换成极坐标：
设x-1/2=rcosθ,即x=(1/2)+rcosθ
y-1/2=rsinθ,即y=(1/2)+rsinθ
则积分域为
0≤θ≤2π,0≤r≤√6/2
∴∫∫
(x+y)dxdy
=∫<0,2π>[∫<0,√6/2>(1+r(cosθ+sinθ))rdr]dθ
=∫<0,2π>[(1/2)r^2+(1/3)r^3(cosθ+sinθ)]|<0,√6/2>dθ
=∫<0,2π>[3/4+(√6/4)(cosθ+sinθ)]dθ
=[(3/4)θ+(√6/4)(-sinθ+cosθ)]|<0,2π>
=3π/2