Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE。

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．
（1）判断AD和CG的数量关系与位置关系，并说明理由；
（2）判断BE和CD的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）已知AB=√2，求EF的长.

Answer 1

解：
（1）∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=√2AC,∠CAB=45
∵△ABD是等腰直角三角形
∴BD=√2AB=√2×√2AC=2AC，G是BD的中点
∴DG=1/2BD=AC
∠ADB=45°
AC∥BD
∴ACGD是平行四边形
∴AD∠和CG平行且相等
(2)∵AE=AC，AB=AD，∠EAB=90+45=135，∠CAD=90+45=135，∠EAB=∠CAD
∴△AEB≌△ACD
∴BE=CD
（3）由上述证明，可知，CG∥AD，且AD⊥AB
∴CG⊥AB,又△ABC是等腰直角三角形
∴CG是△ABC的中线
四边形ABCE是平行四边形（对边平行）
∴BE和AC是对角线，互相平分
∴BE也是△ABC的中线
∴BF=1/3BE
EF=2/3BE
∵AB=√2
∴BE=√3AB=√6
EF=2/3√6