Question

四棱锥P-ABCD底面是矩形，PA垂直于ABCD，E.F分别是AB ，PD的中点又二面角P-CD-B为45度 求证：平面PEC垂直

Answer 1

LZ您好。

四棱锥P—ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点,又二面角P-CD-B为45°.
(1)求证:AF‖平面PEC;

(2)求证:平面PEC⊥平面PCD;

(3)设AD=2,CD=2,求点A到平面PEC的距离.

(1)证明:取PC的中点G,连结EG、FG.

∵F是PD的中点,

∴FG‖CD且FG=CD.

而AE‖CD且AE=CD,

∴EA‖GF且EA=GF,

故四边形EGFA是平行四边形,从而EG‖AF.

又AF平面PEC,EG平面PEC,

∴AF‖平面PEC.

(2)证明:∵PA⊥平面ABCD,

∴AD是PD在平面ABCD上的射影.

又CD⊥AD,

∴CD⊥PD,∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角.

∴∠ADP=45°,则AF⊥PD.

又AF⊥CD,PD∩CD=D,

∴AF⊥平面PCD.

由(1),EG‖AF,

∴EG⊥平面PCD.

而EG平面PEC,

∴平面PEC⊥平面PCD.

(3)解:过F作FH⊥PC交PC于点H,又平面PEC⊥平面PCD,则FH⊥平面PEC,

∴FH为点F到平面PEC的距离,而AF‖平面PEC,故FH等于点A到平面PEC的距离.

在△PFH与△PCD中,

∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC为公共角,

∴△PFH∽△PCD,=.

∵AD=2,CD=2,PF=,PC==4,

∴FH=·2=1.

∴点A到平面PEC的距离为1.

望LZ采纳。

Answer 2

问题遇到有误的问题，不爽