Question

高数，这个第三题求极限是什么意思

Answer 1

首先，e^(sinx)->e^0=1就不说了，直接用1替换。
x->0时，有e^x=1+x/1!+x^2/2!+……
也即
e^x-1=x+x^2/2+……
为什么说可以调用tanx-sinx~1/2*x³呢？这是因为：
tanx-sinx=sinx(1/cosx-1)=sinx*(1-cosx)/cosx
而x->0时，cosx=1-x²/2！+x^4/4!-……，故1-cosx~x²/2
故
tanx-sinx~sinx*(1-cosx)/cosx~x*(x²/2)/1=1/2*x³
知道了上述信息，才可以所谓“调用”：
e^(tanx-sinx)-1~tanx-sinx~1/2*x³
调用的前提是，分母刚好是x³！否则可不敢随便“调用”！
当然了这题，不必非得用等价无穷小代替，也可以用罗必塔嘛：
原式=
lim [e^(tanx-sinx)-1]/x³=
x->0
lim [e^(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)]/(3x²)=
x->0
lim (sec²x-cosx)/(3x²)=
x->0
lim (1-cos³x)/[cos²x*(3x²)]=
x->0
lim (1-cos³x)/(3x²)=
x->0
lim -3cos²x*(-sinx)/(6x)=
x->0
=1/2

Answer 2

追答

满意请速采