Question

函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c的图像为什麼是中心对称图形？

Answer 1

这是ax^3+bx^2+cx+d是中心对称图形的证明：
因为f(x)=a(x-x0)^3+b(x-x0)+y0的对称中心是(x0,y0)，即(x0,f(x0))

所以f(x)=ax^3+bx^2+cx+d如果能写成f(x)=a(x-x0)^3+b(x-x0)+y0那么三次函数的对称中心就是(x0,f(x0))。
所以设f(x)=a(x+m)^3+p(x+m)+n
得f(x)=ax^3+3amx^2+(3am2+p)x+am3+pm+n
所以3am=b; 3am2+p=c; am3+pm+n=d;
三次函数图象B
所以m=b/3a; p=(3ac-b2)/3a; n=d+(2b3)/(27a2)-bc/(3a)
所以f(x)=a(x+b/3a)^3+(c-B2/3a)(x+b/3a)+d+2b3/27a2-bc/3a
得证。

追问

太感谢！！

That's exactly what I want

不过B是什么意思？

Answer 2

三次函数图像都是中心对称图形。
一个图像是中心对称的，那么他的导函数图像应该是轴对称图形。三次函数的导函数是二次函数，是轴对称图形，所以三次函数图像是中心对称图形。
不懂再问我。

追问

反过来导函数是轴对称图形也可以推出原函数是中心对称图形吗？

追答

可以

追问

谢谢！