数列:1,1,3,7,17,41,99......它的第2013项除以3的余数是几?
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1,1,3,7,17,41,99......的规律是从第三项开始,每一项都等于前一项的2倍加上前前一项.
即a[n]=2a[n-1]+a[n-2],
因为a[n]=2a[n-1]+a[n-2]=2(2a[n-2]+a[n-3])+a[n-2]=5a[n-2]+2a[n-3]=5(2a[n-3]+a[n-4])+2a[n-3]=12a[n-3]+5a[n-4]=12a[n-3]+5(12a[n-7]+5a[n-8])=12a[n-3]+60a[n-7]+25a[n-8]=12a[n-3]+60a[n-7]+24a[n-8]+a[n-8],
所以a[n]除以3的余数和a[n-8]除以3的余数相等。
所以a[2013]除以3的余数和a[5]除以3的余数相等。
所以第2013项除以3的余数是2
即a[n]=2a[n-1]+a[n-2],
因为a[n]=2a[n-1]+a[n-2]=2(2a[n-2]+a[n-3])+a[n-2]=5a[n-2]+2a[n-3]=5(2a[n-3]+a[n-4])+2a[n-3]=12a[n-3]+5a[n-4]=12a[n-3]+5(12a[n-7]+5a[n-8])=12a[n-3]+60a[n-7]+25a[n-8]=12a[n-3]+60a[n-7]+24a[n-8]+a[n-8],
所以a[n]除以3的余数和a[n-8]除以3的余数相等。
所以a[2013]除以3的余数和a[5]除以3的余数相等。
所以第2013项除以3的余数是2
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