Question

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第一题。
椭圆x2第一题。 椭圆x2/a2+y2/b2=1与直线相交于两点。且垂直于为原点求证大于1为定值 第二题。a2+y2/b2=1与直线x+y=1相交于两点P,Q。且OP垂直于OQ(O为原点) 求证(1)a2+b2大于1 (2)1/a2+1/b2为定值
第二题。
抛物线y=2x2上的两点A(x1,y1)B(x2,y2)关于直线y=x+m对称，且x1x2=-1/2。求 (1)直线AB方程 (2)实数m的值
第三题。
直线y=kx+m与椭圆x2/4+y2=1交于两点P,Q，且以为PQ对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求斜率K的取值范围

Answer 1

1.P(x1,y1),Q(x2,y2)，有：x1+y1-1=0,x2+y2-1=0 ...(1)
x+y-1=0代入x^2/a^2+y^2/b^2=1，得：
==> (a^2+b^2)x^2-2a^2*x+a^2(1-b^2）=0
x1+x1 =2a^2/(a^2+b^2), x1*x2=a^2(1-b^2)/(a^2+b^2) ...(2)
OP垂直OQ：(y1/x1)(y2/x2)=-1 ...(3)
(1)(2)(3) ==> 1/a^2 +1/b^2 = 2 = 定值 ...(4)
e=c/a=[√(a^2-b^2)]/a =√[1-(b/a)^2]
(√2)/2≥e=√[1-(b/a)^2]≥(√3)/3 ...(5)
(4)(5) ==> (√6)/2≥a≥(√5)/2

2.A,B在抛物线y=2x^2上
则y1=2x1^2 y2=2x2^2
A(x1,2x1^2) B(x2,2x2^2)

AB关于直线y=x+m对称
则直线AB与直线y=x+m垂直
斜率乘积为-1
即[(2x2^2-2x1^2)/(x2-x1)]*1=-1
2(x2+x1)=-1
x1+x2=-1/2

AB关于直线y=x+m对称
则AB中点C((x1+x2)/2,(2x1^2+2x2^2)/2)在直线y=x+m上
x1^2+x2^2=(x1+x2)/2+m
(x1+x2)^2-2x1x2=(x1+x2)/2+m
1/4+1=-1/4+m
m=3/2

3.证明：（1）过A作AH垂直于BC于H
过A作AE垂直于DC于E
易得三角形AHB全等于三角形AED
所以AH=AE
因为∠ADE=∠DAQ+∠AQD=∠PAD+∠QAD=60°
所以∠DAP=∠AQD
因为∠DAP=∠APH
所以∠APH=∠AQD
易得三角形AEQ全等于三角形AHP
所以AP=AQ
所以△APQ为等边三角形
（2）∠ABH=60° AB=4
BH=2 AH=2*根号3
HP=x-2
在RT三角形AHP中
勾股定理
得函数解析式为y=根号（x^2-4x+16）
（3）有两种情况
1.当P在BC延长线上时
根据等腰三角形性质
易得PD平分∠ADQ
因为AD平行BC
所以∠ADQ=∠BCQ=120°
易得∠DPC=120°/2=60°
因为∠DPA=30°
所以∠APC=30°
因为∠B=60°
所以∠BAP=90°
所以BP=2BA=8
2.当P在BC上时
易得PQ为菱形ABCD一条对角线
所以B,P重合
BP=0

Answer 2

太麻烦