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解：分享一种解法，用等价无穷量替换后，利用p-级数判断。
∵n→∞时，1-cos(π/n^p)~(1/2)((π/n^p)^2=[(π^2)/2]/n^(2p)、√(n^2+1)~n，
∴∑√(n^2+1)[1-cos(π/n^p)]~[(π^2)/2]∑n/n^(2p)=[(π^2)/2]∑1/n^(2p-1)。
∴当2p-1>1，即p>1时，∑1/n^(2p-1)收敛，继而∑√(n^2+1)[1-cos(π/n^p)]收敛；当2p-1<1、p>0，即0<p<1时，∑1/n^(2p-1)发散，继而∑√(n^2+1)[1-cos(π/n^p)]发散。
供参考。
∵n→∞时，1-cos(π/n^p)~(1/2)((π/n^p)^2=[(π^2)/2]/n^(2p)、√(n^2+1)~n，
∴∑√(n^2+1)[1-cos(π/n^p)]~[(π^2)/2]∑n/n^(2p)=[(π^2)/2]∑1/n^(2p-1)。
∴当2p-1>1，即p>1时，∑1/n^(2p-1)收敛，继而∑√(n^2+1)[1-cos(π/n^p)]收敛；当2p-1<1、p>0，即0<p<1时，∑1/n^(2p-1)发散，继而∑√(n^2+1)[1-cos(π/n^p)]发散。
供参考。
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