Question

已知函数f(x)(x∈R,x≠0)对任意的非零实数x1，x2，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)

当x>1时，f(x)>0,f(2)=1.
求证，f(x)在(0,+无穷)上是增函数。
解不等式f(2x-4)<2

Answer 1

证明：
设Δx>0、x1>0，x2=x1(1+Δx)，则x2>x1，f(1+Δx)>0
那么，f(x2)=f(x1(1+Δx))=f(x1)+f(1+Δx)
f(x2)-f(x1)=f(1+Δx)>0
∴ f(x)在(0,+∞)上是增函数

解：
①在(0,+∞)上
∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2
又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数，f(2x-4)<2
∴(0,+∞)上，0<2x-4<4 得2<x<4
②在(-∞,0)上
同上证明，知f(x)在(-∞,0)上是减函数
∵f(1)=f(1×1)=2f(1) 得f(1)=0
又∵f(1)=f((-1)×(-1))=2f(-1) 得f(-1)=0
f(-x)=f(x×(-1))=f(x)+f(-1)=f(x) 即f(x)是偶函数，则f(-4)=2
∴(-∞,0)上，-4<2x-4<0 即 0<x<2

综上所述，x∈(0,2)∪(2,4)