Question

急！一道简单高中数学题，详细解释

设x,y均为正实数，且1/（2+x)+1/(2+y)=1/3,则xy的最小值为_____

Answer 1

1/(2+x)+1/(2+y)=1/3
(2+y)/(2+x)(2+y)+(2+x)/(2+y)(2+x)=1/3
(4+x+y)/(2+x)(2+y)=1/3
(4+x+y+xy)=3(4+x+y)
2(x+y)=xy-8
x+y=(xy-8)/2
(xy-8)/2>=2√(xy
xy-4√xy-8>=0
(√xy-2+2√3)(√xy-2-2√3)>=0
解得√xy>=2+2√3 或√xy<=2-2√3 （舍）
xy>=(2+2√3)²=16+8√3
xy的最小值为16+8√3

Answer 2

解：
1/(2+x)+1/(2+y)=1/3
1/(2+y)=1/3-1/(2+x)=(x-1)/3(x+2)
2+y=3(x+2)/(x-1)
y=(x+8)/(x-1)
则xy=x(x+8)/(x-1)
=[x²+8x]/(x-1)
=[(x-1)²+10(x-1)+9]/(x-1)
=(x-1)+10+9/(x-1)
≥10+2×√[(x-1)×9/(x-1)] ............∵x-1>0，9/(x-1)>0，利用公式a+b≥2√ab所得
=10+2×3
=16
即当且仅当x-1=9/(x-1)，即x=4时，xy最小值为16