Question

计算曲面积分∫∫x³dydz＋y³dzdx－3z(x²＋y²－1)dxdy，其中曲面z=1－√(x

计算曲面积分∫∫x³dydz＋y³dzdx－3z(x²＋y²－1)dxdy，其中曲面z=1－√(x²＋y²) (z≧0)的下侧

Answer 1

答：- π

把曲面写作√(x²+y²)=1-z
即x²+y²=(1-z)²，为最大值在z=1处的下开口锥面
补面Σ1：z=0取上侧
于是形成整个立体Σ+Σ1的内侧，取 -
∫∫_(Σ1) 0 dxdy = 0
∫∫_(Σ) x³dydz + y³dzdx - 3z(x²+y²-1)dxdy

= ∫∫_(Σ+Σ1) - ∫∫_(Σ1)

= - ∫_(Ω) (3x² + 3y² - 3(x²+y²-1)) dxdydz - 0
= - ∫_(Ω) 3 dxdydz
= - 3∫_(Ω) dxdydz
Ω为0≤z≤1-√(x²+y²)
= - 3∫(0,2π) dθ ∫(0,1) r dr ∫(0,1-r) dz
= - (3)(2π)∫(0,1) r*(1-r) dr
= - (6π)(1/2-1/3)
= - π