Question

如图,四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形,EF∶FG=3∶1AB∶BC=2∶1则tan∠AHE的值为

RT

Answer 1

由对称性知，AH=CF,CG=AE.
不妨设tanAHE=t,AB=2,AH=x,则BC=1,AE=tx,EB=2-tx.
∵四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，
∴△AEH∽△BFE,
∴AE/AH=BF/BE,
∴t=(1-x)/(2-tx),
∴2t-xt^2=1-x,
∴x=(2t-1)/(t^2-1).①
由EF∶FG=3∶1得EF^2=9FG^2,
∴（2-tx)^2+(1-x)^2=9[x^2+(tx)^2],
∴8(t^2+1)x^2+(4t+2)x-5=0。②
把①代入②*（t^2-1)^2,得
8(t^2+1)(2t-1)^2+(4t+2)(2t-1)(t^2-1)-5(t^2-1)^2=0,
化简得
35t^4-32t^3+40t^2-32t+5=0,
t1=1/5,t2=5/7（舍）,或t^2+1=0(无实根）。
∴tanAHE=1/5.