Question

高数求极限，请问红字的趋近值代入的地方对吗？根据是什么？为什么加法不能代？

Answer 1

这样子做，其实也是可以的。
这其实是省略了一些步骤
lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³（1+sinx）]=lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³]*[1/（1+sinx）]
=lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³]*lim（x→0）[1/（1+sinx）]
=lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³]*1
=lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³]
是利用乘积的极限=极限的乘积这个公式。
而lim（x→0）[1/（1+sinx）]=1
所以lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³（1+sinx）]的极限情况和lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³]的极限情况一样
所谓一样就是指，如果lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³]等于一个有限常数a，那么lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³（1+sinx）]也等于这个有限常数a
如果lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³]等于∞，那么lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³（1+sinx）]也等于∞
如果lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³]左右极限不相等而导致极限不存在，那么lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³（1+sinx）]也会左右极限不相等而导致极限不存在。
所以查看lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³]极限情况就可以知道lim（x→0）[（tanx-sinx）/x³（1+sinx）]极限情况了。