Question

若对任意x∈(1,+∞),函数f(x)=x+a/x+2>0恒成立,求a的取值范围。

Answer 1

当a>=0时，由于x>1，易见f(x)>0恒成立。
当a<0时，f'(x)=1-a/x^2>0，所以f(x)是增函数，只要满足f(1)=3+a>=0成立即可，即
得到a>=-3。
综上，a的取值范围是a∈[-3，+∞)

Answer 2

首先，x∈(1,+∞)，所以不等式两边同时乘以x得：
x^2+2x+a>0
配方得：
（x+1)^2+a-1>0
a>1-（x+1)^2
x∈(1,+∞)
x+1)^2>4
1-（x+1)^2<-3
所以，a>=-3
a∈[-3，+∞)

Answer 3

首先,当a>0时,f(x)是一个耐克函数,可用基本不等式求最值,f(x)min=2√a+2一定成立。
若a<0,x∈(1,+∞),f(x)是增函数,a>-x^2-2x恒成立,则a>=1,矛盾。所以，a>=0。