Question

如何求复合函数单调性

别拿标答蒙我，直接说什么同增异减
先说一个我的疑问 例 求log(x^2+1)的单调性
设x^2+1=t 外函数是logt 且当t属于【1，+无穷） 函数单增
里函数是x^2+1 它在（负无穷，0）单减 （0，正无穷）单增
根据同增异减 复合函数单调性应该是（1，正无穷）单增 （0,1）单减啊 可是错了
里外函数的单调性要在哪个函数的定义域上讨论 不明白
到底该怎么用这个同增异减 在里外函数上如何进行讨论 到底在什么里函数定义域上讨论还是外函数定义域上讨论 可以结合着到例题讲讲 谢谢！
底数是2

Answer 1

这个问题用同增异减来解释是高中老师比较普遍但很搞笑的做法。回归本质应当是对函数层层剥离。比如你的这个例题，首先要明确 log(t) 的定义域是要求t>0，而对于 t=x^2+1 的情况，在 x 属于 (-无穷, +无穷)时，t > 1 恒成立。所以 x 可以取任意实数。那么在 x 属于 (0，+无穷)的情况下， t = x^2+1 单调递增。注意这不是最终结果，而是根据x由小到大的取值判断出了 t的趋势，最终要判断的是 log(t)的趋势。log(t)在t大于0的情况下恒为单调递增函数，所以，只要t一直变大，log(t)就单调递增，而 t 变大（或者说单调递增）的区间在 x 属于(0, +无穷)里。按照上述逻辑，x属于(-无穷，0)时，log(t)就是单调递减的。结论就是：在x属于（-无穷，0）时，log(x^2+1)单调递减，在x属于（0，+无穷）时，log(x^2+1)单调递增。至于定义域，你应该想的是，拿到一个函数首先确定一个自变量的取值范围，使得函数能够成立，然后在这个自变量的取值范围上讨论整个函数的特性，包括单调性。而不是死抠在哪个函数的定义域上讨论。其实到以后学微分学了就知道，对一个函数求微分就可以判断其单调性，前提仍然是明确自变量的取值范围。希望你能学懂！

追问

意思是我先考虑定义域 X属于R 然后通过X------X2+1=t 来看t的趋势
那么这个复合函数的单调性 还是要根据logt这个初等函数（增函数） 和我求出t的单调区间用同增异减来考虑 只不过是要在定义域即 (t大于0 解出的X的范围) 上讨论

追答

这位朋友，我就明说了吧。同增异减只不过是高中老师为了让你们快速判断而总结的比较可笑幼稚的经验，看问题要看本质。我觉得我在上面的这段话中已经把意思讲得很明白了，你在想的时候，别再想什么同增异减了。就这个例子，我问你log一样东西什么时候递增？当然是log后面跟的东西在增长的时候，log的值在递增对吗？那么现在log后面跟的是x^2+1，也就是说问题变成了x^2+1什么时候递增。它是一个二次函数，当然是在x大于0的时候递增啦。然后还要考虑x是不是在大于0的时候取所有值都能另x^2+1跟在log后面，显然这是可以的。要求递减区间也是这样判断的。所以这就是思考的过程，和同增异减没啥关系。你按我这个方法，无论什么函数拿来你都能判断。

Answer 2

不知有无学过导数，学过的话直接复合函数求导数即可（有点类似于方程之于奥数）。
导函数值>0的区间为单调递增区间，导函数值<0的区间为单调递减区间。
f(x)=log(x^2+1)
f'(x)=[1/(x^2+1)·ln10]·(x^2+1)'
=2x/(x^2+1)·ln10
x>0 f'(x)>0 为单调递增区间
x<0 f'(x)<0 为单调递减区间

追问

呃呃呃额额，log复合也去求导，太麻烦我感觉，直接用单调性 才是最优的 我觉得吧 ，毕竟这只是用来画图像看，去求导太费时间了，，，

追答

做多了导数题，一般来讲，除了根式，求导是最快且最简单的（如不方便看出f
'(x)的正负，可以再求二阶导数，判断极值点的性质，极大值点，左增右减，极小值点，左减右增），就像用解方程的方法去解奥数题。

Answer 3

求定义域，然后求导，根据导函数来确定函数的走势，也就是单调性
还有，你的例子没有写明底数，如何求单调性？
函数的定义域只有一个，没有什么里函数，外函数的，能使f(x)有意义的自变量的所有的取值是所求的定义域。