Question

一道中考数学题（急！）

如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC， 过点P作PE⊥PC交AB于E
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
请写出详细解答过程！

Answer 1

（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠APE=∠DCP，又∵∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴ AP/DC= AE/DP，∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ^2=3AP-AP^2，
∴AP^2-AQ^2=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3（2分）
∵AP≠AQ，
∴AP≠ 3/2，即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．（