微积分极限求值公式和导数求导公式及例题
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2024-04-02 广告
原式 = 积分[0, x^2] sin[xy] / y dy - 积分[0, x] sin[xy] / y dy 求导: ( 积分[0, x^2] sin[xy] / y dy ) ' = sin[x^3] / x^2 * (x^2) ' ...
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dx ： x的无穷小的增量.
f(x)： 在x位置上的函数值.
f(x+dx)： 在x+dx位置上的函数值.
f‘(x)： 函数f(x)的导函数,也是函数在x的位置上,函数的切线的斜率.
f(x+dx)-f(x)：从x的位置变化到x+dx位置(无穷小的增加量),而引起的函数值
的无穷小的增加量.
f'(x)dx： 用函数上某点的导数,也就是某点的斜率,横坐标增加dx时,所引起
的函数值的变化量,也就是函数值的无限小的增量.
f(x+dx)-f(x)=f'(x)dx的整体意义：
1、原本这是导数f'(x)的定义式：
f'(x) = [f(x+dx)-f(x)]/dx 在平时的教科书上是用极限表示的,
在用极限表示时,dx要写成△x.
2、写成上式的形式时,表示函数的增量是由导函数乘以自变量的无穷小增量直接决定的.
这就给工程上、实验科学上的误差分析提供了理论依据,△f = f‘(x)△x,这样就可以估
计误差了.
3、同时,也给理论上估计提供了一个方法：f(x+dx)=f(x)+f'(x)dx.
例如：根号25.12 = 根号25 + (½)[1/根号25]×0.12 = 5.012 (准确值5.0119856)
4、进而给牛顿近似计算法、级数展开提供了理论基础.
f(x)： 在x位置上的函数值.
f(x+dx)： 在x+dx位置上的函数值.
f‘(x)： 函数f(x)的导函数,也是函数在x的位置上,函数的切线的斜率.
f(x+dx)-f(x)：从x的位置变化到x+dx位置(无穷小的增加量),而引起的函数值
的无穷小的增加量.
f'(x)dx： 用函数上某点的导数,也就是某点的斜率,横坐标增加dx时,所引起
的函数值的变化量,也就是函数值的无限小的增量.
f(x+dx)-f(x)=f'(x)dx的整体意义：
1、原本这是导数f'(x)的定义式：
f'(x) = [f(x+dx)-f(x)]/dx 在平时的教科书上是用极限表示的,
在用极限表示时,dx要写成△x.
2、写成上式的形式时,表示函数的增量是由导函数乘以自变量的无穷小增量直接决定的.
这就给工程上、实验科学上的误差分析提供了理论依据,△f = f‘(x)△x,这样就可以估
计误差了.
3、同时,也给理论上估计提供了一个方法：f(x+dx)=f(x)+f'(x)dx.
例如：根号25.12 = 根号25 + (½)[1/根号25]×0.12 = 5.012 (准确值5.0119856)
4、进而给牛顿近似计算法、级数展开提供了理论基础.
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