Question

一道高中数学题~求详细解释~要求有过程

在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点，离心率为√3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB，求
(1)求曲线C的方程
(2)求点M的轨迹方程
(3)求 | 向量OM | 的最小值

Answer 1

c=√3,e=√3/2,a=2,b=1,x^2/4+y^2=1
P（s，t），过P直线：y=k（x-s）+t代入x^2/4+y^2=1得（1+4k^2)x^2-8k(ks-t)x+4(ks-t)^2-4=0
1/16判别式=4k^2(ks-t)^2－4k^2(ks-t)^2－(ks-t)^2+4k^2+1=(4-s^2)k^2+2stk－t^2+1
=4t^2k^2+2stk+1/4s^2=（2tk+1/2s）^2=0，k=－s/(4t)，y=－s/(4t)（x-s）+t
A（4t^2/s+s，0）=（4/s，0）；B（0，s^2/(4t)+t)=(0，1/t）
设M（x，y），则x=4/s，y=1/t，s=4/x，t=1/y，代入s^2/4+t^2=1得4/x^2+1/y^2=1，x^2+4y^2=x^2y^2，因0<s<2，0<t<1，故x>2，y>1
| 向量OM | ^2=x^2+y^2，设x^2+y^2=m，m>0，x^2=m－y^2代入x^2+4y^2=x^2y^2并令n=y^2得
m-n+4n=(m-n)n，n^2+(3-m)n+m=0，此方程有解，判别式=m^2-10m+9>=0，m>=9
或m<=1(舍，因x>2，y>1)
所以| 向量OM | 的最小值=3
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