Question

泰勒公式展开式的误差为什么是高阶无穷小？猜到的吗？先猜后证吗？

大一学生，工科专业，估计这种问题老师不给解释，但是实在是觉得想不明白很难受，像是硬塞给一大堆知识。

Answer 1

般o(x)中的次数和前面项的最高次相等即可 但主要还要看分母k是多少 k阶无穷小概念是lim(x->0)A/B=c c为非零常数
泰勒公式要展开到几次要看底数x^k的k为多少
比如这道题lim(x->0)[ln(1+x)-x]/x^2
k=2 由于ln(1+x)/-x=-x^2/2+o(x^2)
除以x^2正好得-1/2+o(1)为非零常数 所以为2阶无穷小
除了在求像无穷小这种题目有分母k的大小做参照 其他应用的时候可以更随便一些
如sinx=x-x^3/3!++x^5/5!+o(x^5) 这里最后其实也可以写成o(x^6)也算对 因为sinx的泰勒公式没有x^6这一项

追问

我问的是为什么fx和px（多项式）差的是高阶无穷小..