Question

复变函数 为什么1/（Z-Z0）沿圆周积分是2pai*i

Answer 1

值得注意的是，这个圆周一定要把z0包围在内，否则结论不成立。

当这个圆周把z0包围在内的时候，不妨假设z0是这个圆周的圆心。如果不满足这一点，我们可以通过连续变形，让这个圆周变形到以z0为圆心的圆周上，同时根据复变函数积分的闭路变形原理，变形前后的积分结果是一样的。

我们假设这个圆的半径为r(r>0)，那么对于积分路径上的任何一点，必定满足z-z0=re^iΘ，因此

当然积分范围也可以改为-π≤-Θ<π，只要是一个完整的正向圆周即可。