Question

问一道高二立体几何题

在直三棱柱ABC-A1B1C1中。角ABC=90°，CB=1 CA=2 AA1=根号6，M为CC1的中点，求证；AM⊥BA1。（坐标系最好画出来

Answer 1

唉，我去年高中毕业的，当时人称立体几何小天王（整个高中立体几何题只错过两次），虽然高考只考了138，不过立体几何依然是我的骄傲。真怀念啊，来，哥帮你证明。

解：依题意，取BB1中点M1，连MM1、AM1
由直三棱柱ABC-A1B1C1和条件角ABC=90°可得BC垂直于面ABB1A1
又MM1平行于BC，所以MM1垂直于面ABB1A1
因为A1B属于面ABB1A1，所以MM1垂直于A1B

在矩形AA1B1B中，A1A：AB=AB：BM1，所以Rt三角形A1AB相似于Rt三角形ABM1
所以A1B垂直于AM1

在面AMM1中，A1B垂直于MM1，A1B垂直于AM1，MM1交AM1于M1
所以A1B垂直于面AMM1，又AM属于面AMM1
所以AM垂直于A1B

顺便提一下，本人从不用空间直角坐标系，太麻烦了。

Answer 2

1 做BB1的中点M1 ，连接AM1.MM1
2 利用三角形ABM1与三角形A1AB相似，所以求出A1B垂直于AM1
3 因为角ABC等于90度，所以能求出BC垂直于面AA1B1B，又因为MM1平行于BC,所以MM1垂直于面AA1B1B，所以MM1垂直于AIB
4 因为AIB垂直于MM1且垂直于AM1，所以AB垂直于面AMM1，所以得A1B垂直于AM

（因为只做了一个辅助点比较简单所以没有画坐标系）

Answer 3

按上面所说的ABM1和A1AB是不相似的。因为有共边AB，而AA1与M1B又是1:2的关系。所以两个三角形肯定不相似。你学过空间向量吗？用向量证明很简单的。把每个点的坐标标出来。再把2个向量表示出来只要证明向量AM乘以向量BA1等于零就可以了。