Question

x趋于无穷大的极限能用泰勒公式吗

Answer 1

直接用是不可以的，之所以用泰勒公式，是因为x非常小，这时x的高次项就更小了，可以忽略。
但当x趋向于无穷，x的高次项反而更大了，这时该忽略的反而是低次项。
所以如果要用，可以做一个变换u=1/x，x趋向于无穷，u趋向于0，对u泰勒展开，u的高次项很小，就可以了。

Answer 2

不能。

• 泰勒公式的皮亚诺余项是o(x^n) 

  x->∞时余项不是x^n的高阶无穷小，而是高阶无穷大，显然不再适用。

x趋于无穷时 x+x的正弦 再整体比x 极限是1，当x趋于无穷时 ，1/x 极限是0，而sinx显然是有界量，利用无穷小量乘有界量仍是无穷小量，因此在x趋于无穷时 (sinx)/x 极限是0而不是1，只有当x趋于0时 (sinx)/x 极限才是1。

使用泰勒公式，需要x非常小，于是x的高次项就更小了，小到可以忽略，才可以使用泰勒公式。所以如果要用，可以做一个变换u=1/x，x趋向于无穷，u趋向于0。

泰勒公式的皮亚诺余项是o(x^n) ，x->∞时余项不是x^n的高阶无穷小，而是高阶无穷大。

Answer 3

可以用，泰勒展开只是在某点邻域展开，邻域可大可小。

而且泰勒展开本来得到的就是近似值，误差可大可小（就像高赞回答说的，x趋于正无穷时，x^n为高阶无穷大。

一般使用的等价无穷小只是在零点处的麦克劳林展开，误差为0的高阶无穷小。

给个例子