Question

怎样判断定积分的奇偶性

Answer 1

你是否指的利用被积函数的奇偶性求解定积分呢?如果是,一般有以下几个步骤
1.利用对称性求解定积分的条件：积分区间是对称区间
2.观察被积函数的奇偶性,比如对于M=∫[-a,a] f(x)dx ----表示在-a到a上关于f(x)求定积分
当对于任意的x∈[-a,a],有f(x)=-f(-x),即f(x)在[-a,a]上是奇函数时,M=0
当对于任意的x∈[-a,a],有f(x)=f(-x),即f(x)在[-a,a]上是偶函数时,M=2∫[0,a] f(x)dx
上面的方法可以严格地从定积分的定义式（即黎曼和的极限）严格证明,也可以从几何意义加以理解,因为∫[-a,a] f(x)dx表示在区间[-a,a]上由f(x)围成的曲边梯形的“面积”,其中面积之所以加引号,是因为如果f(x)>0,那就指的是由y=f(x),y=0,x=-a,x=a围成的面积,如果是f(x)