Question

一道有关反函数的题目

设a>0,且a不等于1，函数f(x)=log[x+根号(x^2-1)] (x大于等于1)
求函数f(x)的反函数及其定义域

Answer 1

a^y=x+根号(x^2-1)
a^y-x=根号(x^2-1)
(a^y-x)^2=x^2-1
化简得到x=[a^(2y) -1]/2a^y
所以反函数为f^(-1) (x)=[a^(2x) -1]/2a^x，

x+根号(x^2-1)是增函数，所以
当a>1时，原函数是增函数，所以值域为【0，＋∞)，即反函数的定义域为【0，＋∞)
当0<a<1时，原函数是减函数，所以值域为（-∞，0】，即反函数的定义域为（-∞，0】