Question

高数，定积分。我怎么算不对。。应该怎么算？

Answer 1

解：
令y-1=sint，则y=1+sint
y：0→2，则t：-π/2→π/2
∫[0：2]y(2-√(2y-y²)dy
=∫[0：2]2ydy-∫[0：2]y√[1-(y-1)²]dy
=∫[-π/2：π/2]2(1+sint)d(1+sint) -∫[-π/2：π/2](1+sint)costd(1+sint)
=∫[-π/2：π/2](2cost+2sintcost)dt -∫[-π/2：π/2](cos²t+sintcos²t)dt
=∫[-π/2：π/2]2costdt -∫[-π/2：π/2]cos²tdt
=4∫[0：π/2]costdt -∫[0：π/2](1+cos2t)dt
=4sint|[0：π/2] -(t+½sin2t)|[0：π/2]
=4(sinπ/2 -sin0) -[(π/2 +½sinπ)-(0+½sin0)]
=4- ½π

Answer 2

换元后简单点，令y-1=x，则积分＝∫(-1到1) (x+1)(2-√(1-x²))dx＝∫(-1到1) (2-√(1-x²))dx＝2∫(0到1) (2-√(1-x²))dx＝2[2-π/4]＝4-π/2。

追问

看得我蒙了。。

第一，x-1哪去了？

第二个红线怎么算的？

追答

利用奇偶性，还有定积分的几何意义。

追问

哎，你早说啊！害我想了半天