Question

如图，已知AB、CD是圆O内非直径的两弦，求证AB与CD不能互相平分。

Answer 1

假设：AB和CD能互相平分。且AB与CD的交点为P。

由相交弦定理可知：PA·PB＝PC·PD
因为AB和CD互相平分，
所以，PA＝PB, PC＝PD
则有：PA＝PB＝PC＝PD,
在圆内的一点，使得这点到圆上不同四个点的距离相等，只能是圆心。
因此，在一个圆内，两条非直径的两条弦相交不能互相平分。

Answer 2

连oc
∵oa=oc
∴∠bac=∠oca(等边对等角)
∵∠bac=∠dac
∴∠oca=∠dac(等量代换)
∴oc∥ad(内错角相等,两直线平行)
∵ad⊥cd
∴oc⊥cd,即cd是切线