Question

已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c

已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2cos(C/2),-sin(A+B)),n=(cos(C/2),2sin(A+B)),且m⊥n.(1)求角C的大小。（2）若a^2=b^2+1/2c^2,求sin(A-B)的值

Answer 1

由向量m垂直于n得
（2cosC/2,-sin(A+B)）*（cosC/2,2sin(A+B)）=0
(cosC/2)^2=sin(A+B)^2=sinC^2
(1+cosC)/2=1-(cosC)^2
解得 cosC=1/2，C=60°

由a^2=b^2+1/2c^2得
c^2=2(a^2-b^2)
( sinC)^2=2(( sinA)^2-( sinB)^2)
( sinC)^2=2sin(A+B)sin(A-B)
sinC=2sin(A-B)
所以 sin(A-B)=√3/4

Answer 2

m⊥n, 所以
2cos(C/2)*cos(C/2)+[-sin(A+B)]*2sin(A+B)=0 （向量垂直公式）
cosC+1-2sin(A+B)*sin(A+B)=0 (二倍角公式）
cosC+1-2sinC*sinC=0 (因为A+B=180-C)
cosC+1-2(1-cosC*cosC）=0
解方程的cosC=-1或1/2
因为C是三角形内角，所以cos=-1舍去，cosC=1/2, C=60
（2）
a^2=b^2+1/2c^2
c^2=2(a^2-b^2)
根据正弦公式 a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以（sinC）^2=2[(sinA)^2-(sinB)^2]
3/8=(sinA)^2-(sinB)^2=sin(A+B)sin(A-B)=sin(A-B)*根号3/2
sin(A-B)=根号3 / 4

Answer 3

（2cosC/2,-sin(A+B)）*（cosC/2,2sin(A+B)）=0
(cosC/2)^2=sin(A+B)^2=sinC^2
(1+cosC)/2=1-(cosC)^2
解得 cosC=1/2，C=60°

由a^2=b^2+1/2c^2得
c^2=2(a^2-b^2)
( sinC)^2=2(( sinA)^2-( sinB)^2)
( sinC)^2=2sin(A+B)sin(A-B)
sinC=2sin(A-B)
所以 sin(A-B)=√3/4

Answer 4

由向量m垂直于n得
（2cosC/2,-sin(A+B)）*（cosC/2,2sin(A+B)）=0
(cosC/2)^2=sin(A+B)^2=sinC^2
(1+cosC)/2=1-(cosC)^2
解得 cosC=1/2，C=60°

由a^2=b^2+1/2c^2得
c^2=2(a^2-b^2)
( sinC)^2=2(( sinA)^2-( sinB)^2)
( sinC)^2=2sin(A+B)sin(A-B)
sinC=2sin(A-B)
所以 sin(A-B)=√3/4
或者是
m⊥n, 所以
2cos(C/2)*cos(C/2)+[-sin(A+B)]*2sin(A+B)=0 （向量垂直公式）
cosC+1-2sin(A+B)*sin(A+B)=0 (二倍角公式）
cosC+1-2sinC*sinC=0 (因为A+B=180-C)
cosC+1-2(1-cosC*cosC）=0
解方程的cosC=-1或1/2
因为C是三角形内角，所以cos=-1舍去，cosC=1/2, C=60
（2）
a^2=b^2+1/2c^2
c^2=2(a^2-b^2)
根据正弦公式 a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以（sinC）^2=2[(sinA)^2-(sinB)^2]
3/8=(sinA)^2-(sinB)^2=sin(A+B)sin(A-B)=sin(A-B)*根号3/2
sin(A-B)=根号3 / 4