Question

高等数学。第41题。求具体证明过程

Answer 1

证明：
方法非常多！

1°
令：x∈(a,b)，满足拉格朗日中值定理：

∃ξ∈(a,x)，使得：
f(x)-f(a)=f'(ξ)·(x-a)

f(x)=f'(ξ)·(x-a)
即：
|f(x)|=|f'(ξ)|·(x-a)
∵f(x)连续，
再令：c=(a+b)/2，则：
∴∫(a,b) |f(x)|dx =∫(a,c) |f(x)|dx+∫(c,b) |f(x)|dx
∫(a,c) |f(x)|dx=∫(a,c) |f'(ξ)|·(x-a)dx = f'(ξ)·(c-a)²/2=f'(ξ)·(b-a)²/8
又∵f(x)有连续导数，
∴根据最值定理：
∫(a,c) |f(x)|dx=f'(ξ)·(b-a)²/8 ≤max[f'(x)]·(b-a)²/8
同理：
∫(c,b) |f(x)|dx≤max[f'(x)]·(b-a)²/8
因此：
∫(a,b) |f(x)|dx≤max[f'(x)]·(b-a)²/4
即：
max[f'(x)]≥[(b-a)²/4]·∫(a,b) |f(x)|dx
2°
泰勒公式展开
你应该还没有学泰勒，这里就略了！