为什么有的积分是面积，有的积分是负值
积分的正负取决于被积函数和积分的区间，当用积分求面积时，积分的区间是由大到小以及被积函数为正，故结果才是面积。
积分通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。
如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。如同上面介绍的，对于只有一个变量x的实值函数f，f在闭区间[a,b]上的积分记作
扩展资料：
积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
黎曼积分的意义上，所有区间[a,b]上黎曼可积的函数f和g都满足：
在积分区域上，积分有可加性。黎曼积分意义上，如果一个函数f在某区间上黎曼可积，那么对于区间内的三个实数a, b, c，有
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。
取决于被积函数和积分区间，其结果当然有正有负。当你用定积分求面积时，这个定积分就不是随便写的，而是根据面积这个几何意义列式的，结果自然为正。
举例说明，已知小红年纪及小明比小红小的岁数，求小明年纪这个应用题中，用减法运算求年纪的结果是正的，但是减法本身的结果也可以是负的。
面积积分的重要性，还在于它本质上可以局部地刻画圆内解析函数ƒ 在边界z=e 处非切向极限的存在性。确切地说，除了一零测度集外，圆内解析函数ƒ 在边界z=e处具有非切向极限的充分必要条件。
扩展资料：
被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。
也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。
测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念，从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而定义积分。在一维实空间中，一个区间A= [a,b] 的勒贝格测度μ(A)是区间的右端值减去左端值，b−a。这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。
参考资料来源：百度百科—— 积分
类比一下，已知小红年纪及小明比小红小的岁数，求小明年纪这个应用题中，用减法运算求年纪的结果是正的，但是减法本身的结果也可以是负的。
举例说明，已知小红年纪及小明比小红小的岁数，求小明年纪这个应用题中，用减法运算求年纪的结果是正的，但是减法本身的结果也可以是负的。
