Question

数学难题! 快快快.....谢谢!!!

设函数f(x)=2+sin(3x+π/12)cos(x+π/6)+cos(3x+π/12)sin(x+π/6)
1. 求函数f(x)的图像离原点O最近9对称中心的坐标，以及离y轴最近的对称轴的方程
2. 求函数f(x)的最小正周期，并用作图法求方程f(x)-x-1=0的根的个数.

Answer 1

利用sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)

可知f(x)=2+sin(3x+π/12+x+π/6)=2+sin(4x+π/4)

(1) 对称中心为((-π/4+kπ)/4,2) 离原点最近的是(-π/16,2)

     对称轴为y=(π/4+kπ)/4 离y轴最近的是y=π/4

(2) 最小正周期为pi/2

     通过作图可以发现方程根的个数为3

Answer 2

先正弦和的公式把原函数变形为f(x)=sin(4x+π/4)+2
然后根据这个就能得出向位移是-π/16
所以离原点最近的对称中心是(-π/16,2)离y轴最近的对称轴是x=7π/16
第二小题还是由那个变形后的公式得到最小正周期为2π/4也就是π/2
把第二小题的方程变形为f(x)=x+1，再设g(x)=x+1，要方程成立，即f(x)与g(x)的函数图像有交点，大致作出f(x)与g(x)的图像后可得出有一个交点，所以方程有1个根

Answer 3

利用和角公式：f(x)=2+sin(4x+π/4),对称中心（kπ/4-π/16,2）k为整数，对称轴：x=kπ/4+π/8，k为整数.离原点最近的对称中心（-π/16,2），离y轴最近的对称轴x=π/8。
f(x)的最小正周期π/2

Answer 4

lkllkl

Answer 5

f(x)=2+sin(3x+π/12)cos(x+π/6)+cos(3x+π/12)sin(x+π/6)
=2+sin(3x+π/12+x+π/6)
=2+sin(4x+π/4)
对称中心=kπ/4-π/16 离原点O最近的对称中心的坐标(2,-π/16 )
对称轴=kπ/4+π/16 离y轴最近的对称轴的方程 x=π/16

Answer 6

利用sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
可知f(x)=2+sin(3x+π/12+x+π/6)=2+sin(4x+π/4)
(1) 对称中心为((-π/4+kπ)/4,2) 离原点最近的是(-π/16,2)
对称轴为y=(π/4+kπ)/4 离y轴最近的是y=π/4
(2) 最小正周期为pi/2
通过作图可以发现方程根的个数为3

后面的两个乘积式可以化成sin(4x+兀/4)的，答案是（－兀/16 ,2) 周期是 兀/2 图要自己画，我这都熄灯了

1.f(x)=2+sin(3x+π/12)cos(x+π/6)+cos(3x+π/12)sin(x+π/6)
=2+sin(3x+π/12+x+π/6)
=2+sin(4x+π/4)
对称中心=kπ/4-π/16 离原点O最近的对称中心的坐标(2,-π/16 )
对称轴=kπ/4+π/16 离y轴最近的对称轴的方程 x=π/16
2. 最小正周期T=2π/4=π/2
f(x)-x-1=0
2+sin(4x+π/4)-x-1=0
sin(4x+π/4)=x+1
自己画一下吧，能看出来

先正弦和的公式把原函数变形为f(x)=sin(4x+π/4)+2
然后根据这个就能得出向位移是-π/16
所以离原点最近的对称中心是(-π/16,2)离y轴最近的对称轴是x=7π/16
第二小题还是由那个变形后的公式得到最小正周期为2π/4也就是π/2
把第二小题的方程变形为f(x)=x+1，再设g(x)=x+1，要方程成立，即f(x)与g(x)的函数图像有交点，大致作出f(x)与g(x)的图像后可得出有一个交点，所以方程有1个根

利用和角公式：f(x)=2+sin(4x+π/4),对称中心（kπ/4-π/16,2）k为整数，对称轴：x=kπ/4+π/8，k为整数.离原点最近的对称中心（-π/16,2），离y轴最近的对称轴x=π/8。
f(x)的最小正周期π/2

f(x)=2+sin(3x+π/12)cos(x+π/6)+cos(3x+π/12)sin(x+π/6)
=2+sin(3x+π/12+x+π/6)
=2+sin(4x+π/4)
对称中心=kπ/4-π/16 离原点O最近的对称中心的坐标(2,-π/16 )
对称轴=kπ/4+π/16 离y轴最近的对称轴的方程 x=π/16