Question

线性代数。λ取何值时非齐次线性方程有唯一解,无解,无穷解

方程组为
X1+X2+λX3=4
-X1+λX2+X3=λ^2
3X1-X2+（λ+4）X3=-4

Answer 1

系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等时，有解

秩相等，且都小于3时，有无穷多组解
秩相等，且都是3时，有唯一解

秩不相等（此时系数矩阵行列式等于0，且系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩）时，无解

Answer 2

Answer 3

系数矩阵行列式 |A| =
| 1 1 λ |
| -1 λ 1 |
| 3 -1 λ+4 |
|A| =
| 1 1 λ |
| 0 λ+1 λ+1 |
| 0 -4 -2λ+4 |
= 2(λ+1)(4-λ)
当 λ≠ -1 且 λ≠ 4 时， |A| ≠ 0， 方程组有唯一解。
当 λ= -1 时，(A, b) =
[ 1 1 -1 4]
[-1 -1 1 1]
[ 3 1 3 -4]
初等行变换为
[ 1 1 -1 4]
[ 0 0 0 5]
[ 0 -2 6 -16]
r(A, b) = 3, r(A) = 2, 方程组无解。
当 λ= 4 时，(A, b) =
[ 1 1 -1 4]
[-1 -1 1 1]
[ 3 1 3 -4]
初等行变换为
[1 1 4 4]
[0 5 5 20]
[0 -4 -4 -16]
初等行变换为
[1 0 3 0]
[0 1 1 4]
[0 0 0 0]
r(A, b) = r(A) = 2 < 3, 方程组有无穷多解。