Question

数学中，存在性命题的证明有哪些重要意义

Answer 1

存在性的命题在数学当中占有重要的地位。知道某个东西存在，即使不知道那个东西具体是什么，也是一种信息；存在 和 不存在 之间有时候有很大的区别。题主提到的拉格朗日中值定理，仅仅根据那个点的存在性，就可以由此推导出洛必达法则——用中值定理推洛必达法则应该是很多教材上的标准讲法。这里的关键是：中值所在的那个点 ,位于区间(a,b)之间，除此以外不需要知道 具体在哪，表达式是什么，就已经可以做很多事情。
其实现代数学里面很多东西都是“知道存在而很难写出具体表达式”的。这一方面是因为写出显式的表达式是很困难的事情，说白了现阶段数学家的能力不够；另一方面，仅仅知道存在性也足够做很多事情。比如你仅仅知道一个闭曲面上存在一个曲率非负但不恒为0的度量，就可以马上推出曲面的亏格为0，而不需要知道这个度量的具体表达式（Gauss-Bonnet）；在PDE里面的很多不等式，都是“存在一个常数C，使得下列不等式成立”，但是这个常数的具体表达式是什么，通常大家并不会太关心（但是这个常数依赖于哪些量还是要写出来）。丘成桐先生拿菲尔兹奖的重要工作，证明Calabi猜想，其实就是证明了一个PDE的解的存在性，除此以外并没有太多信息——也许对解的大小、增长有一些估计，但是解的具体表达式是绝对没有的，大概也是写不出来的。但是仅仅是这样就足以让他获取数学界最重要的奖项，同时也为理论物理学家提供了弦论的合适模型。
不过，很多时候存在性在数学研究中仅仅是第一步，并不是说数学家证明了存在性以后就万事不管了的。上面提到的丘先生的工作实际上开创了一个叫Calabi-Yau几何的领域，在这个领域里面很多数学家们在做一些比存在性更具体的工作——比如研究所有Calabi-Yau度量组成的模空间。任何事情都不是一蹴而就的，大部分时候都是一步一步慢慢来。千禧年七大问题里面的Navier-Stokes方程，其经典解的存在性至今未知呢。