Question

第9题②不正确，但是就算是没有定义，与他的极限为不为∞没有关系啊。我怎么感觉②是对的。坐等求解。

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Answer 1

极限的定义中，要求在求极限的点的某个去心邻域内要恒有定义。
所以如果在x0的任何一个去心邻域内，都无法保证恒有定义，那么这个函数在x0点处是无限极，既不是极限是有限常数的情况，也不是极限无穷大的情况，而是不符合极限的定义要求而无法求极限的情况。

f（x）的极限是0，完全可以是在x→x0的过程有，有无数个点使得f（x）=0，这不影响f（x）的极限是0的结果。
但是这样的话1/f（x）就会有无数个点使之无定义，这样在x0的任何去心邻域内都不能恒有定义，所以极限不是无穷大。
比方说lim（x→0）xsin（1/x），这个极限就是0
但是其倒数1/[xsin（1/x）]，在x=0的任何去心邻域内，都可以找到无数个点使得sin（1/x）=0，从而使得分母为0，函数无定义，所以不符合求极限的要求，极限不是无穷大。

追问

完美。

Answer 2

你忽略了分段函数，如果f（x）=x，x不等于0；f（0）=1，x=0；这样的分段函数就不成立

追问

你说的对，你这个反例完美。

追答

请采纳，谢谢。(*^__^*) 嘻嘻……

Answer 3

2中:则后面
式子（分子，分母都有常数极限）=1/0=#DIV/0!

Answer 4

②是对的
①②互为逆命题，且是充要条件。
作为定义域开区间的端点，尽管这个端点，严格地说，不属于定义域，但是，如果自变量可以无限接近于这个端点，其极限还是有的。当然，很可能是无穷大，或者左右不同。
关键在于，这里的∞是不带符号的，可以是正的，也可以是负的，包括了f(x)从0的两侧趋近于0的情形。
其实对于①来说，也不能说x0位于定义域内，无穷大不是一个确定的值，不可能是一个函数值，因此，x0也不在定义域内。
①②要么都对，要么都错。

追问

1是定理，2缺少一个条件。答案我不是发了么。

追答

这个答案举的例子也有问题。
1/f(x)=1/xsin(1/x)=(1/x)/sin(1/x),换元：
u=1/x
x->0,1/x->∞，
极限等价于：
lim(u->∞）u/sinu,
-1≤sinu≤1，有界，u->∞，其极限也是无穷大。

追问

嗯，这么算应该是没有问题的！

追答

极限的ε-δ定义，才是证明的关键。所举所谓反例不成立。反例只是说明了，1/f（x）可能提前＞D，这是允许的。