Question

第十八题，概率论题

第十八题，概率论题求详细过程，谢谢

Answer 1

都用分部函数法，
X与Y的概率密度函数都是
f(x)=
{1/θ·e^(-x/θ) x≥0
{ 0 x＜0

分布函数都是
F(x)=
{1-e^(-x/θ) x≥0
{ 0 x＜0

(1)U的分布函数为
FU(z)=P(U≤z)
=P[max(X,Y)≤z]
=P(X≤z,Y≤z)
=P(X≤z)·P(Y≤z)
=
{[1-e^(-z/θ)]² z≥0
{ 0 z＜0

∴U的概率密度函数为
fU(z)=[FU(z)]'=
{2/θ·e^(-z/θ)·[1-e^(-z/θ)] z≥0
{ 0 z＜0

(2)V的分布函数为
FV(z)=P(V≤z)
=P[min(X,Y)≤z]
=1-P[min(X,Y)＞z]
=1-P(X＞z,Y＞z)
=1-P(X＞z)·P(Y＞z)
=1-[1-F(z)]²
=
{1-e^(-2z/θ) z≥0
{ 0 z＜0

∴V的概率密度函数为
fV(z)=[FV(z)]'=
{2/θ·e^(-2z/θ) z≥0
{ 0 z＜0

追答

看了你的另一个提问，
题解应该是打错了，
【或者是教材版本的原因】
基本老版本教材里面的λ=1/θ
新版教材一般都是用θ的

追问

老师，这两个求导结果是一样的，为什么用第一个

追答

(1)常数的导数为0
(2)分布函数长啥样，
概率密度函数就是它的导数，
要讲究客观事实

追问

可是有没有那个0都是一样的啊……非要加那个常数吗

追答

不加，那还是分布函数吗？

追问

老师，我又发了新的问题，求解答